|
|
Урок 1.2 Методы расчета электрических цепей постоянного тока.
( Занятие
2 из 19 )
|
Основные законы электрических цепей.
|
|
|
Напряжение на участке цепи. Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.

На рисунке 1.17 изображен участок цепи на котором есть сопротивление R и нет Э.Д.С. Крайние точки этого участка обозначены буквами а и б.Пусть ток I течет от точки а к точке б.
На участке цепи без Э.Д.С. ток течет от более высокого потенциала к более низкому. Следовательно потенциал точки а выше потенциала точки б на величину, равную произведению тока I на сопротивление R:

В соответствии с определением напряжение между точками а и б

Следовательно, Uаб= I*R. Другими словами, напряжение на сопротивлении равно произведению силы тока, протекающего по сопротивлению, на величину этого сопротивления.
Разность потенциалов на концах сопротивления, т.е. произведение I*R в дальнейшем будем именовать падением напряжения. Положительное направление паления напряжения совпадает с положительным направлением тока, протекающего по данному сопротивлению.
Рассмотрим теперь вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем не только сопротивление, но и Э.Д.С.
На рис. 1.18, а и б показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток I. Найдем напряжение между точками а и с для этих участков. По определению
(1.8)
Выразим потенциал точки а через потенциал точки с . При перемещении от точки с к точке б (рис. 1.18 а) идем всречно Э.Д.С. Е, поэтому потенциал точки б оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки с на величину Э.Д.С. Е, т.е.

Для рис. 1.18, б при перемещении от точки с к точке б идем согласно Э.Д.С. E и поэтому потенциал точки б оказывается выше (больше), чем потенциал точки с, на величину Э.Д.С. E , т.е.

Ранее говорилось, что на участке цепи без Э.Д.С. ток течет от более высокого потенциала к более низкому. Поэтому в обеих схемах рис.1.18 потенциал точки а выше, чем потенциал точки б на величину падения напряжения в сопротивлении R:
Таким образом, для рис.1.18 а имеем
или
(1.9,а)
и для рис.1.18,б
или
(1.9,б)
Положительное направление напряжения укаывают на схемах стрелкой. Стрелка должна быть нправлена от первой буквы индекса ко второй. Так положительное направление напряжения Uас изобразиться стрелкой, направленной от а к с. Из самого определения напряжения следует, что Uса= - Uас. Другими словами, изменение чередования (последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно из изложенного ясно, что напряжение может быть и положительной и отрицательной величиной.
Закон Ома для участка цепи, не содержащего Э.Д.С. Закон Ома устанавливает связь между током и напряжением на некотором участке цепи. Так применительно к участку цепи, изображенному на рис. 1.17 запишем
Uаб= I*R
или (1.10)
Закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С.
Закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С., позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов на концах участка цепи и имеющейся на этом участке Э.Д.С. E. Так, из уравнения (1.9,а) для схемы рис.1.18, а имеем

Аналогично из уравнения (1.9,б) для схемы рис 1.18,б следует, что

В общем случае
(1.11).
Уравнение (1.11) математически выражаетсобой закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С.; знак плюс перед Э.Д.С. соответствует случаю, когда на участке цепи ток и Э.Д.С. совпадают по направлению, а знак минус в случае, когда направление тока и Э.Д.С. на участке цепи противоположны.
В частном случае при E=0 уравнение (1.11) переходит в уравнение (1.10).
Пример. К зажимам а и с схемы рис.1.19 подключен вольтметр, имеющий очень большое, теоретически бесконечно большое сопротивление ( следовательно его подключение не влияет на режим работы цепи).

Если ток I=10а течет от а к с то показание вольтметра Uас= -18 в.
Если ток I=10a течет от с к а то показание вольтметра Uса=-20 в.
В первом режиме согласно уравнения (1.9,а) Uас=-E+I*R,
Во втором режиме потенциал точки с выше чем б на величину Е, а потенциал точки а ниже потенциала точки б на величину I*R, следовательно
, , ,
составляем систему из двух уравнений
-18= -E+10*R
-20=-E-10*R
Совместное решение дает E=19 в, R=0,1 ом.
При расчете электрических цепей учитывают сопротивление проводников, используемых для соединения элементов между собой. Этот параметр характеризует процесс противодействия проводника прохождению по нему электрического тока. Установлено, что сопротивление проводника зависит от его размеров и температуры. Зависимость сопротивления проводника от размеров выражается формулой
(1.13)
где - удельное сопротивление, характеризующее материал проводника, l — длина проводника; s — площадь его поперечного сечения.
В цепях постоянного тока величину, обратную сопротивлению, называют электрической проводимостью:
q =1/r (1.14)
Основной единицей проводимости в СИ является сименс (См). Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электропроводимостью. Зависимость сопротивления от температуры приближенно описывается формулой
r=r0[1+a(t-t0)] (1.15)
Здесь г0 — сопротивление проводника при начальной температуре t0 (Ом); a— температурный коэффициент сопротивления, равный относительному изменению сопротивления при изменении температуры на 1 0С; t — конечная температура (°С). Сведения об удельных сопротивлениях и температурных коэффициентах сопротивления можно найти в соответствующей справочной литературе.
Законы Кирхгофа. Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.Первый закон кирхгофа может быть сформулирован двояко. Первая формулировка: Сумма всех токов, приходящих к узлу электрической цепи, равна сумме всех токов, выходящих из этого узла. Вторая формулировка: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Так применительно к рис. 1.20 согласно первой формулировке
I3=I1+I2+I4
а согласно второй, если подтекающие к узлу токи считать положительными, а утекающие-отрицательными, то
I3-I1-I2-I4=0
Физически первый закон Кирхгофа ощначает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.
Второй закон Кирхгофа также может быть сформулирован двояко.
Первая формулировка: алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равняется аогебраической сумме Э.Д.С. вдоль того же контура. Записывается следующим образом:

В каждую из сумм соответствующие слогаемые входят со знаком плюс, если направление тока и Э.Д.С совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если эти направления не совпадают.
Вторая формулировка: алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжений) вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
(1.18)
Так для периферийного контура схемы рис.1.21.
Uае+Uec+Ucd+Uda=0

Законы Кирхгофа используются для нахождения токов в ветвях схемы. Так как в каждой ветви схемы течет свой ток, то число неизвестных токов равняется числу ветвей схемы. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:
а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;
б) выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.
Для единообразия рекомендуется положительные направления обхода контуров выбирать одинаковыми для всех контуров, например все по часовой стрелке.
Обозначим число ветвей схемы через b и число узлов через y. Для того, чтобы получить линейно независимые уравнения по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. y-1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей, за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т.е.
b - (y-1)
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо следить, чтобы были охвачены все ветви схемы. В большинстве случаев стремятся выбирать контура таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже составлены уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми. Следует иметь в виду, что для ряда сложных многоконтурных схем это условие не может быть выполнено.
В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа приходится составлять для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.
На примере схемы рис. 1.21 рассмотрим алгоритм составления уравнений Кирхгофа. Произвольно выбираем положительное направление токов, обозначаем на схеме. В схеме два узла. Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение
I1+I2=I3 (a)
Положительные направления обхода для контуров выбираем по часовой стрелке.
Для контура R1E1R2E2 имеем
I1R1-I2R2 =E1+E2 (б)
Знак минус перед I2R2 потому, что направление тока I2 не совпадает с направлением обхода контура.
Для контура E2R2R3R4 имеем
I2R2+I3(R3+R4)=-E2 (в)
Совместное решение системы из трех уравнений позволяет найти искомые токи.
|
|
Методы эквивалентного преобразования схем электрических цепей с пассивными элементами
|
|
|
Часто при анализе электрических цепей постоянного тока приходится иметь дело со сложными разветвленными цепями. Если такие цепи состоят из соединения линейных пассивных элементов, то анализ значительно упрощается, если в схемах цепей провести определенные эквивалентные преобразования. Метод эквивалентного преобразования схем заключается в том, что сложные участки цепи заменяются более простыми, им эквивалентными. Преобразование будет эквивалентным, если оно не оказывает влияния на режим остальной, не затронутой преобразованием части цепи, т. е. если оно не вызывает в оставшейся части цепи изменений напряжений и токов. Примером такого преобразования может служить замена параллельного или смешанного соединения элементов одной ветвью с эквивалентным сопротивлением.
Рассмотрим методы эквивалентных преобразований схем электрических цепей.
Цепь с последовательно соединенными резисторами.
На рис. 1.10,а представлена схема с последовательно соединенными резисторами. Известно, что в этом случае через все элементы цепи проходит один и тот же ток. Приведем эту схему к эквивалентной (рис. 1.10,б), в которой эквивалентное сопротивление Rэкв выбрано таким, чтобы ток в цепи оставался без изменения. По второму закону Кирхгофа можно записать:
U = U1+U2+U3 = I*R1+I*R2+I*R3 = I*(R1+R2+R3)=I*Rэкв, (1.20)
откуда очевидно, что Rэкв= R1+R2+R3. (1.21)
Эквивалентное сопротивление при последовательном соединении элементов цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов. Напряжение на зажимах последовательно соединенных приемников распределяется пропорционально их сопротивлениям.
Ток в цепи при последовательном сопротивлении резисторов I = U/Rэкв, а мощность,подводимая к цепи, равна сумме мощностей отдельных элементов.
P= U*I = U1*I+U2*I+U3*I= I2*( R1+R2+R3) = I2*Rэкв.
Последовательное соединение применяют в тех случаях, когда номинальные напряжения приемников ниже напряжения сети, например в измерительных приборах для расширения пределов измерения, в двигателях постоянного тока для ограничения пусковых токов и регулирования частоты вращения и т. д. Однако приемники, как правило, последовательно не включают, так как при выходе из строя одного из них происходит отключение остальных, что на практике нежелательно. Кроме того, при последовательном включении приемников мощьность, выделяемая в цепи, пропорциональна их сопротивлениям, так как через все приемники проходит один и тот же ток. Следовательно, приемники, рассчитанные на меньшую номинальную мощность( так как утаких приемников болшее спротивление), будут работать с перегрузкой, а приемники, рассчитанные на большую номинальную мощность, — с недогрузкой. Отметим, что приемники с одинаковыми номинальными напряжениями и мощностями окажутся в лучших условиях работы при последовательном соединении.
Цепь с параллельно включенными резисторами.

Рассмотрим параллельно соединенные приемники (рис. 1.11, а), т. е. случай, когда приемники находятся под одним и тем же напряжением, что наиболее часто используют на практике. Это удобно, так как не требуется согласовывать номинальные данные приемников и имеется возможность их включать и выключать независимо друг от друга. Цепь рис. 1.11,а состоит из трех параллельных ветвей. По первому закону Кирхгофа,
I =I1+I2+I3 (1.22)
Используя закон Ома уравнение 1.22 можно переписать в следующем виде
I = U/R1+U/R2+U/R3=U/(1/R1+1/R2+1/R3) (1.23)
Для эквивалентной схемы (1.11 б) по закону Ома имеем
I= U/Rэкв (1.24)
Из условия эквивалентности преобразований токи в обоих случаях равны, следовательно
U/R экв = U/(1/R1+1/R2+1/R3) сокращая на U получим
1/Rэкв = 1/R1+1/R2+ 1/R3) (1.25).
Учитывая, что 1/R =g проводимость, ураванение 1.25 перепишем в виде
gэкв = g1+ g2 +g3 (1.26).
Следовательно, при параллельном соединении элементов электрической цепи эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей ее отдельных параллельно включенных ветвей.
При увеличении числа параллельных ветвей эквивалентная проводимость цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление уменьшается вследствии чего ток в неразветвленной части цепи возрастает. При этом увеличивается мощность всей цепи. Мощность, подводимая к цепи с параллельно включенными резисторами, равна сумме мощностей ее отдельных параллельно включенных ветвей. Полезно вывести формулу эквивалентного спротивления для двух параллельно включенных резисторов R1 и R2.
1/Rэкв=1/R1+1/R2= (R2+R1)/R1*R2 откуда Rэкв = R1*R2/(R1+R2).
Аналогично выводиться формула для трех параллельно включенных резисторов.
Следует отметить, что эквивалентное сопротивление при параллельном соединении резисторов будет всегда меньше самого малого сопротивления, включенного в цепь.
Соединение элементов звездой и треугольником.
Если три сопротивления соединены в одной точке с одинаковым потенциалом, то такое соединение называется соединением "звездой" ( рис.1.12 б ). Если три сопротивления соединены таким образом, что конец одного сопротивления и начала другого сопротивления соединяются в одной точке с одинаковым потенциалом, то такое соединение называется соединением "треугольником" (рис 1.12 а). В узлах 1,2,3, и треугольник и звезда соединяются с остальной чпстью схемы, не показанной на рисунках.
Очень часто при расчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или чаще совершить преобразование звезды в треугольник. Практически чаще встречается потребность в преобразовании треугольника в звезду, чем в обратном преобразовании. При эквивалентном преобразовании этих соединений потенциалы точек 1,2, 3, и токи поттекающие к этим узлам не изменяются, и следовательновнешняя схема " не заметит" произведеной замены. приведем без вывода формулы эквивалентных преобразований. Они имеют очень легко запоминающиеся структуры.
R1=R12*R13/(R12+R13+R23) (1.27).
R2=R12*R23/(R12+R13+R23) (1.28).
R3=R23*R13/(R12+R13+R23) (1.29).
Формулы эквивалентного преобразования звезды в треугольник имеют вид:
R12=R1+R2+R1*R2/R3 (1.30).
R13=R1+R3+R1*R3/R2 (1.31).
R23=R2+R3+R2*R3/R1 (1.32).
Пример анализа электрической цепи постоянного тока при смешанном соединении приемников.
Рассмотрим простейшую цепь со смешанным соединением, т. е. содержащую последовательно и параллельно включенные резисторы, которая показана на рис. 1.12, а. Эта цепь может быть приведена к схеме с одним эквивалентным сопротивлением рис. 1.13, б.

Преобразование схемы удобно проводить в два приема. Вначале заменяем два параллельных сопротивления R2 и R3 на эквивалентное по формуле Rэк.2,3=R2*R3/(R2+R3), затем зная, что R1и Rэк.2,3 соеденены последовательно, находим эквивалентное сопротивление всей цепи, как
Rэкв=R1+R2*R3/(R2+R3)
После этого можно определить ток в неразветвленной части цепи
I1=U/Rэкв
Для нахождения токов в паралельных ветвях, сначала удобно определить напряжение рахветвления
Uраз=I1*Rэк.2,3, затем легко определяются токи в ветвях
I2=Uраз/R2, I3=Uраз/R3.
Последовательное, параллельное и смешанное соединения образуют цепи, которые называются простыми цепями постоянного тока. Распределение токов в простых цепях постоянного тока, если известны э. д. с. и сопротивления участков цепи, производится с использованием закона Ома. Для сложных многоконтурных разветвленных цепей, в которых произвольно размещены резисторы и источники э. д. с., закона Ома для расчета недостаточно. В этом случае и используют законы Кирхгофа.
|
|
Расчет сложных электрических цепей постоянного тока с помощью законов Киргхофа
|
|
|
Задачей расчета электрических цепей является нахождение токов, напряжений и мощностей всех или отдельных их участков по заданным значениям э. д. с. и параметрам элементов цепи. Для цепей постоянного тока такими параметрами являются значения входящих в цепь сопротивлений (или проводимостей).

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов в ветвях цепи, схема которой представлена на рис. 1.13, когда заданными являются значения и направления всех э. д. с. источников, а также сопротивления резисторов. Так как число неизвестных токов равно числу ветвей схемы, то необходимо составить столько же независимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. При составлении уравнений учитывают направления токов в ветвях, а так как токи неизвестны, то предварительно произвольно выбирают эти направления. Составляя уравнения по первому закону Кирхгофа, следует токи, приходящие к узлу и уходящие от него, брать с разными знаками. В нашем случае считаем, что токи, приходящие к узлам, имеют положительный знак, а уходящие из узлов — отрицательный знак. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа э. д. с. и токи, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, обычно берут с положительным знаком, Остальные — с отрицательным. В схеме рис. 1.13 содержится шесть ветвей, поэтому необходимо составить шесть независимых уравнений. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа и запишем их для узлов a, b, с:
I1-I2-I5=0
I2-I3-I6=0 (1.33)
I6+I3-I4=0
Если составить уравнение для узла d, то это уравнение не будет независимым, так как оно может быть получено путем суммирования уравнений (1.27). Следовательно, уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для цепи с q узлами, будут независимыми лишь для q-1 узлов. Итак, максимальное число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше, чем число узлов схемы.
Недостающие уравнения (в нашем случае — три) составляют по второму закону Кирхгофа для независимых контуров (вследствие чего уравнения будут также независимыми). Контуры считаются независимыми, если в каждом из них имеется хотя бы одна ветвь, не принадлежащая другим контурам. Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы рис. 1.13, выберем три независимых контура I, II, III и условимся направлением их обхода считать направление по часовой стрелке. Согласно второму закону Кирхгофа, для выбранных контуров
I1*r1+I5*r5=E1
I2*r2+I6*r6+I4*r4-I5*r5=0 (1.34)
I3*r3-I6*r6=-E2
Решая совместно систему из шести уравнений, находим все неизвестные токи. Если в результате решения уравнений значение какого-либо тока окажется отрицательным, то это указывает на то, что действительное направление тока противоположно произвольно выбранному. После определения токов в ветвях вычисляют напряжения по закону Ома и мощности по закону Джоуля — Ленца. Рассмотренный метод нагляден и позволяет сразу же определять действительные значения токов в ветвях и напряжений на их зажимах. При использовании современной вычислительной техники этот метод расчета применим для электрической цепи любой сложности.
Расчет можно проверить по балансу мощностей. Сумма мощностей всех источников цепи должна равняться сумме мощностей, выделенных на всех приемниках этой цепи. Мощность источника определяется как произведение тока проходящего через источник на его Е.Д.С. Необходимо учитывать направление тока и направление Е.Д.С. источника. Если они не совпадают, то в этом случае мощность источника будет отрицательной, т.е. на самом деле он является приемником.
Составим баланс мощностей для схемы изображенной на рисунке 1.14.

Для приведеной на рисунке схемы величина E1 больше E2, и следовательно ток направлен против E2. Составим баланс мощновсти:
E1*I - E2 *I =I2*R (1.35)
Если учесть, что источник E2 является потребителем электрической энергии, то более правилным будет перписать уравнение 1.35 в следующем виде:
E1*I =I2*R +E2*I (1.36).
В этом случае в левой части уравнения мощность источника, а в правой части мощность приемников.
|
|
Расчет электрических цепей методом узловых потенциалов
|
|
|
Ток в любой ветви схемы может быть найден по закону Ома для участка цепи, содержащего Е.Д.С. Для того, чтобы можно было применить закон Ома надо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в ктором за неизвестные принимаются потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.
Допустим в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы млжет быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то мы в праве один из узлов схемы мысленно заземлить, т.е. приравнять его потенциал нулю. При этом число неизвестных уменшится до (n-1). Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые надо составить для схемы по первому закону Киргхофа. Обратимся к схеме рис. 1.14.

Схема имеет пять ветвей и четыре узла. Если один из узлов схемы, например узел 4 мысленно заземлить, то необходимо будет определить потенциалы только трех узлов, Ф1 , Ф2, Ф3. Для единообразия условимся, что токи будут иметь два индекса. Первый индекс у тока будет соответствовать номеру узла, от которого ток утекает, второй индекс отвечает номеру узла, к которому ток подтекает. проводимоститветвей также будем снабжать двумя индексами. В соответствии с обозначениями токов на рис. 1.14 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла
I41-I14+I21=0
или,выражая ток каждой ветви по закону, получим
[ E1-(Ф1-Ф4)]*g41-[E4-(Ф4-Ф1)]*g14+[0- (Ф1-Ф2)]*g12=0
Перепишем последнее уравнение следующим образом:
I11=Ф1*G11+Ф2*G12
Здесь
G11=g41+g14+g12 т.е. соэффициент G11 равен сумме проводимостей всех ветвей сходящихся в первом узле.
G12=-g12 т.е. соэффициент G12 равен сумме проводимостей всех ветвей , соединяющих узел 1 с узлом 2, взятых со заком минус.
I11=E1*g41-E4*g14 Ток I11 называют узловым током первого узла. Это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления Э.Д.С. ветвей , подходящих к узлу 1, на сопротивления этих ветвей. В эту сумму со знаком плюс входят токи тех ветвей, Э.Д.С. которых направлена к узлу 1.
Подобные же уравнения могут бытьзаписаны и для остальныхт узлов схемы
Ф1*G11+Ф2*G12+Ф3*g13=I11
Ф1*G21+Ф2*G22+Ф3*G23=I22 (1.37)
Ф1*G31+Ф2*G32+Ф3*G33=I33
Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю. После решения системы уравнений (1.37) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону ома дляучастка цепи , содержащего Э.Д.С
Пример. Найти токи в ветвях схемы рис. 1.15 и сделать проверку по второму закону Кирхгофа.
Дано: E1=10в, E2=6в, E3=20в, R1=1ом, R2=2ом, R3=2ом, R4=1ом.
Так как схема имеет два узла то, учитывая, что узел Б мысленно заземляем, для определения потенциала записываем одно уравнение.
ФА*G11= I11
G11= 1/R1+1/R2+1/R3+1/R4=
= 1+1/2+1/2+1=3(сим);
I11=E1/R1+E2/R2-E3/R3=10/1+6/2-20/2=3(а)
Далее расчитываем Ф ФA=I11/G11= 3/3=1(в). (1.38)
Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома.
I1=[E1-(ФА-ФБ)]/R1=(10-1)/1=9(а)
I2=[E2-(ФА-ФБ)/R2=(6-1)/2=2,5(а)
I3=[E3-(ФБ-ФА)]/R3=(20+1)/2=10,5(а)
I4=[0-(ФБ-ФА)/R4= 1/1=1(а)
Сделаем проверку решения по второму закону Кирхгофа для перефирийного контура.
I1*R1+I4*R4=E1; 9*1+1*1=10.
Так как в схеме с двумя узлами (рис.1.15) напряжение UАБ=ФА уравнение 1.38 можно записать в виде:
(1.39)
После того, как напряжение Uаб будет найдено, определяют ток в любой (n) ветви по формуле
In=(En- Uаб)*gn (1.40)
Необходимо помнить, что в исходной схеме условное направление токов должно совпадать с направлением Е.Д.С, тогда в формуле 1.39 в числителе стоит алгебраическая сумма произведений Э.Д.С на проводимость соответствующих вевтвей, при этом со знаком плюс входят члены Э.Д.С. которых направлена к незаземленному узлу. С таким же знаком входят Э.Д.С. и в формуле 1.40.
Метод расчета схем с двумя узлами по формулам 1.39 и 1.40 получил название метода двух узлов в котором за искомое принимается напряжение между двумя узлами, понятно, что этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов.
|
|
Расчет электрических цепей методом эквивалентного генератора
|
|
|
Метод эквивалентного генератора.
В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, вне зависимости от ее структуры и сложности, условно изобразить некоторым прямоугольником (рис 1.22). По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямоугольником, представляет собой так называемый двухполюсник.
Таким образом, двухполюсник- это обобщенное название схемы, которая своими выходными зажимами (полюсами) присоединяется к выделенной ветви. Если в двухполюснике есть источники электрической энергии (Э.Д.С. или источники тока), то такой двухполюсник называется активным. В этом случае на прямоугольнике ставится буква А. Если в двухполюснике нет источников электрической энергии, то его называют пассивным. В этом случае на прямоугольнике либо не ставится никакой буквы, либо ставится буква П (рис1.22).

По отношению к выделенной ветви двухполюсник в расчетном отношении можно заменить эквивалентным генератором, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника.
Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на представлении активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть методом эквивалентного генератора. Этот метод используют тогда, когда необходимо найти ток в одной ветви сложной электрической схемы.
Последовательность расчета тока этим методом рекомендуется следующая:
а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab, для этого нужно найти токи в схеме без исследуемой ветви и по второму закону Кирхгофа рассчитать напряжение Uab;
б) рассчитать входной сопротивление Rвх всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченных источниках э.д.с;
в) подсчитать ток по формуле

Пример. Определить ток в диагонали ab мостовой схемы рис.1.23, а), полагая R1=R4=1 ом, R2=4 ом, R3=2 ом; Е =10 в.
Решение. Размыкаем ветвь ab (см.рис.1.23,б) и находим напряжение холостого хода

или
Подсчитаем входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченном источнике э.д.с. (рис. 1.23, в). Точки c и d схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому

Определим ток в ветви по формуле

|
|
Режимы работы источника питания
|
|
|
Реальные источники питания могут быт заменены источником э.д.с., который состоит из последовательно соединенных идеального источника э.д.с. и идеального сопротивления Rвнутр. (рис. 1.9).

Вольт амперная характеристика источника называется внешней характеристикой, так как связывает напряжение на нагрузке Uаб с током источника, Uаб = E- I*Rвнутр. Если принять, что ни э.д.с. ни Rвнутр не зависят от тока, то эта зависимость представляет собой прямую линию рис 1.10.

Режимы работы источников электрической энергии.
Различают четыре режима работы источников электрической энергии.
1. Режим холостого хода. (хх)Это режим когда сопротивление нагрузки стремится к бесконечности, при этом Iхх = 0, а Uхх=Е. Этот режим может быть использован для измерения э.д.с. источника вольтметром с очень большим внутренним сопротивлением. На внешней характеристике (рис1.10) это точка1.
2. Режим короткого замыкания (к.з.). Это режим, когда сопротивление нагрузки стремиться к нулю, при этом Iк.з.=Е/Rвнутр., а Uк.з.= 0.Для промышленных источников электрической энергии с малым внутренним сопротивлением ток к.з. больше номинального тока в 50-80 раз и является опасным для источника. В этом случае источник должен быть немедленно отключен от нагрузки защитой во избежании выхода из строя источника. На внешней характеристике этот режим обозначен точкой 3.
3. Номинальный режим. Это режим на который рассчитан источник электрической энергии. Номинальный режим характеризуется номинальным током, номинальным напряжением и номинальной мощностью. Обычно указываются два параметра, так как третий параметр может быть получен из двух указанных. Например напряжение и мощность, а ток можно рассчитать. Оборудование должно эксплуатироваться при номинальных параметрах. Даже небольшое превышение номинальных параметров сокращает срок службы оборудования. Для источников э.д.с. номинальный режим близок к режиму холостого хода, точка 2 (рис.1.10).
4. Согласованный режим. Это режим, когда на нагрузку передается максимальная мощность. Для схемы рис.1.9
Pнагр. =I2*Rнагр. ( 1.40)
По закону Ома
(1.41)
Подставив выражение 1.41 в уравнение 1.40 получим
(1.42)
Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением нагрузки Rнагр и внутренним сопротивлением генератора Rвнутр, чтобы в сопротивлении нагрузки выдклялась максимальная мощность; чему она равна и каков при этом будет к.п.д. передачи. С этой целью найдем первую производную Pнагр по Rнагр и приравняем ее нулю:
(1.43)
Отсюда
Rнагр=Rвнутр (1.44)
Подставим (1.44) в (1.42) и найдем максимальную мощность, которая может быть выделена на нагрузке Rнагр
(1.45)
Полезная мощность, выделяющаяся на нагрузке, определяется уравнением (1.42). Полная мощность, выделяемая генератором, равна

Коэффициент полезного действия
(1.46)
Если Rнагр=Rвнутр, то к.п.д. =0,5.
Если полная мощьность Pполн значительна, то работать с таким низким к.п.д. как 0,5, совершенно недопустимо. Но если полная мощность мала, например составляе всего несколько милливатт( такого порядка мощности отдаются различным датчикам устройств автоматики), то с низким к.п.д. можно и не считаться, поскольку в этом режиме датчик отдает нагрузке максимально возможную мощность.
|
|
Передача энергии по линии передачи.
|
|
|
Схема линии передачи электрической энергии изображена на рис.1.11.

На ней U1-напряжение генератора в начале линии, U2 напряжение на нагрузке R2, R-сопротивление проводов линии, R2- сопротивление нагрузки в конце линии.
При передаче больших мощностей ( например, нескольких десятков мегаватт) в реальных линиях передач к.п.д. составляет практически 0,94-0,97, а U2 лишь на несколько процентов меньше U1. Если по линии передачи с сопротивлением R нагрузке должна быть передана мощность P2, то коэффициент полезного действия передачи будет тем выше, чем больше напряжение U1 в начале линии. В этом можно убедиться путем следующих рассуждений. При одной и той же мощности источника уменьшение U1 приведет к увеличению тока I по линии , что в свою очередь приведет к снижению P2 за счет увеличения потерь в линии передачи I2*R и соответственно к снижению к.п.д.
Характер изменения мощности в начале линии P1, мощности в нагрузке P2, коэффициента полезного действия и напряжения на нагрузке U2 в функции от тока по линии при неизменном напряжении на входе линии U1 и неизменном сопротивлении проводов линии R илюстрируется кривыми рис 1.12. Максимальное значение тока имеет место при коротком замыкании нагрузки. Кривые построены по уравнениям:
P1=U1*I; P2= U1*I - I2*R;
к.п.д. = P2/P1= 1- I*R/U1;
U2=U1 -I*R.
|
|
|